Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} = y + x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$

Bước 1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} - y = x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.3.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2}}{1} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.4.2.5

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{3 x^{2}}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{x (3 x)}{x} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{x (3 x)}{x^{1}} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.5.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{x (3 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.5.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.5.2.5

Chia $3 x$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.6

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + 3 x + \frac{- 2 x}{x}$

Bước 1.6.2

Chia $- 2$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x^{2} + 3 x - 2$

Bước 1.7

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x^{2} + 3 x - 2$

Bước 1.8

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x^{2} + 3 x - 2$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{- 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- 1}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.2.5

Nhân $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Nhân $\frac{y}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.2.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.2.5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.2.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x) + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + \frac{1}{x} (3 x) + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + 3 \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + \frac{3}{x} x + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + 3 + \frac{1}{x} \cdot - 2$

Bước 3.3.5

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + 3 + \frac{- 2}{x}$

Bước 3.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x + 3 - \frac{2}{x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x + 3 - \frac{2}{x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x + 3 - \frac{2}{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x} y = \int x + 3 - \frac{2}{x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{x} y = \int x d x + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int 3 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 7.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C + \int - \frac{2}{x} d x$

Bước 7.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C - \int \frac{2}{x} d x$

Bước 7.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 7.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 7.7

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + 3 x + C - 2 (\ln (| x |) + C)$

Bước 7.8

Rút gọn.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Bước 8.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 2 \ln (| x |) + C$

Bước 8.2.2

Rút gọn $- 2 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln ({| x |}^{2}) + C$

Bước 8.2.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln (x^{2}) + C$

Bước 8.3

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Bước 8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Bước 8.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$

Bước 8.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Rút gọn $(\frac{x^{2}}{2} + 3 x - \ln (x^{2}) + C) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Bước 8.4.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1

Nhân $\frac{x^{2}}{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1.1

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Bước 8.4.2.1.2.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1.2.1

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Bước 8.4.2.1.2.1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Bước 8.4.2.1.2.1.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + 3 x \cdot x - \ln (x^{2}) x + C x$

Bước 8.4.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.2.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + 3 (x \cdot x) - \ln (x^{2}) x + C x$

Bước 8.4.2.1.2.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$

Bước 8.4.2.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{x^{3}}{2} + 3 x^{2} - \ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + 3 x^{2} - x \ln (x^{2}) + C x$

Bước 8.4.2.1.4

Di chuyển $- x \ln (x^{2})$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + 3 x^{2} + C x - x \ln (x^{2})$