Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ , $y (0) = π$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}}$ đối với $x$ là $\arcsin (\frac{x}{4})$

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$

Bước 2.3.3

Viết lại $\arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$ ở dạng $\arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $π$ cho $y$ trong $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ .

$π = \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $0$ .

$\arcsin (0) + K = π$

Bước 4.2.1.1.2

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$0 + K = π$

Bước 4.2.1.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = π$

Bước 5

Thay $π$ cho $K$ trong $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $π$ bằng $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + π$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$y = \arcsin (\frac{x}{4}) + π$