Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 2 x (1 + y^{2})$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (2 x (1 + y^{2}))$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2}))$

Bước 1.2.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2}))$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $1 + y^{2}$ ra ngoài $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Bước 1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = 2 x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\arctan (y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = x^{2} + K$

Bước 3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (x^{2} + K)$