Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

Bước 1

Giả sử $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Bước 2

Kiểm tra xem hàm số có liên tục quanh $(3, 1)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay các giá trị $(3, 1)$ vào $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Thay $3$ bằng $x$ .

$\sqrt{3 - y}$

Bước 2.1.2

Thay $1$ bằng $y$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Bước 2.1.3

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\sqrt{2}$

Bước 2.2

Vì không có logarit với đối số âm hoặc bằng không, không có căn chẵn với số trong dấu căn âm hoặc bằng không, và không có phân số với số không ở mẫu số, nên hàm số liên tục trên một khoảng mở quanh giá trị $x$ của $(3, 1)$ .

Liên tục

Bước 3

Tìm đạo hàm từng phần đối với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập đạo hàm từng phần.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

Bước 3.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - y}$ ở dạng ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ và $g (y) = x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.8.3

Di chuyển ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Bước 3.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Bước 3.10

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Bước 3.11

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 3.12

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

Bước 3.13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Bước 3.14

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.14.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Bước 3.14.2

Kết hợp $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ và $- 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.14.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Kiểm tra xem đạo hàm từng phần đối với $y$ có liên tục quanh $(3, 1)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển đổi các số mũ phân số sang căn thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Bước 4.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Bước 4.2

Thay các giá trị $(3, 1)$ vào $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Bước 4.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Bước 4.2.3

Thay $3$ bằng $y$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

Bước 4.3

Liên tục

Bước 5

Cả hàm số và đạo hàm từng phần của nó đối với $y$ liên tục trên một khoảng mở quanh giá trị $x$ của $(3, 1)$ .

Một nghiệm duy nhất