Giải tích Ví dụ

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

Bước 2.3.3

Vì $2 t - 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2 t - 1$ ra khỏi tích phân.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

Bước 3

Chia mỗi số hạng trong $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ cho $t$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ cho $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Bước 3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

Bước 3.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Bước 3.3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Bước 3.3.2.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

Bước 3.3.2.4

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

Bước 3.3.2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Bước 3.3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2} t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Bước 3.3.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Bước 3.3.2.6.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Bước 3.3.2.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.2.8

Kết hợp $x^{2} t$ và $- \frac{x^{2}}{2}$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.8.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.2.8.2

Để viết $t x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.2.8.3

Kết hợp $t x^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.2.8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.9.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.9.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $t x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.2.9.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.2.9.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.2.9.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.3

Để viết $6 e^{2 t} t x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Kết hợp $6 e^{2 t} t x$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.4.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.5.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (2 t - 1)$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.5.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.5.2

Nhân $2$ với $6$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.5.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.5.5

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

Bước 3.3.6

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

Bước 3.3.7

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Kết hợp $K$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

Bước 3.3.7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Bước 3.3.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Bước 3.3.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Bước 3.3.8.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Bước 3.3.8.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Bước 3.3.8.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.3.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.3.1.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Bước 3.3.8.3.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Bước 3.3.8.3.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.3.2.1

Di chuyển $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Bước 3.3.8.3.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

Bước 3.3.8.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $K$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Bước 3.3.9

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Bước 3.3.10

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

Bước 3.3.11

Nhân $\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ với $\frac{1}{t}$ .

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$