Giải tích Ví dụ

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + (\cos (θ)) r = \tan (θ)$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $\sin (θ) r$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ là $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ trong đó $f (θ) = \sin (θ)$ và $g (θ) = r$ .

$\sin (θ) \frac{d}{d θ} [r] + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d θ} [r]$ ở dạng $r'$ .

$\sin (θ) r' + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$\sin (θ) r' + r \cos (θ)$

Bước 1.4

Thay $\frac{d r}{d θ}$ bằng $r'$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r \cos (θ)$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] = \tan (θ)$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] d θ = \int \tan (θ) d θ$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$\sin (θ) r = \int \tan (θ) d θ$

Bước 5

Tích phân của $\tan (θ)$ đối với $θ$ là $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ cho $\sin (θ)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ cho $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Bước 6.2.1.2

Chia $r$ cho $1$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Tách các phân số.

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Bước 6.3.1.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (θ)}$ sang $\csc (θ)$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Bước 6.3.1.3

Chia $\ln (| \sec (θ) |)$ cho $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Bước 6.3.1.4

Tách các phân số.

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Bước 6.3.1.5

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (θ)}$ sang $\csc (θ)$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \csc (θ)$

Bước 6.3.1.6

Chia $C$ cho $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + C \csc (θ)$