Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x))$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\frac{y}{1 + 2 y^{2}}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + 2 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Bước 1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Bước 1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Bước 1.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3.2.5

Chia $2 y$ cho $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.5

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 \int y d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Rút gọn.

$\ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.7.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.7.2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$\ln (| y |) + y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$