Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2}}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y}{y x^{2}}$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y}{y x^{2}}$

Bước 1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Bước 2.3.3

Viết lại $- x^{- 1} + C_{2}$ ở dạng $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- \frac{1}{x} + C}$ ở dạng $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- \frac{1}{x}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{x}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- \frac{1}{x}}$