Giải tích Ví dụ

$(y + 2) d x + (x - 2) d y = 0$

Bước 1

Trừ $(y + 2) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(x - 2) d y = - (y + 2) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ vào tử số.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y + 2$ ra ngoài $(x - 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Bước 3.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{x - 2} d x$

Bước 3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{x - 2} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u_{1} = y + 2$ . Sau đó $d u_{1} = d y$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u_{1} = y + 2$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Bước 4.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 2$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 4.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 4.2.1.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 2} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u_{2} = x - 2$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u_{2} = x - 2$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Bước 4.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 4.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 4.3.2.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.3.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.3

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 4.3.4

Rút gọn.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 4.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x - 2 |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \ln (| x - 2 |) + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y + 2 |) + \ln (| x - 2 |) = C$

Bước 5.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 2 | | x - 2 |) = C$

Bước 5.3

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| (y + 2) (x - 2) |) = C$

Bước 5.4

Khai triển $(y + 2) (x - 2)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

Bước 5.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

Bước 5.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Bước 5.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\ln (| y x - 2 \cdot y + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Bước 5.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$

Bước 5.6

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |)} = e^{C}$

Bước 5.7

Viết lại $\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x - 2 y + 2 x - 4 |$

Bước 5.8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$ .

$| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$

Bước 5.8.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y x - 2 y + 2 x - 4 = \pm e^{C}$

Bước 5.8.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x - 2 y - 4 = \pm e^{C} - 2 x$

Bước 5.8.3.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Bước 5.8.4

Đưa $y$ ra ngoài $y x - 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $y x$ .

$y (x) - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Bước 5.8.4.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Bước 5.8.4.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Bước 5.8.5

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ cho $x - 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ cho $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Bước 5.8.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Bước 5.8.5.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Bước 5.8.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} - \frac{2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Bước 5.8.5.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Bước 5.8.5.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x + 4}{x - 2}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C - 2 x + 4}{x - 2}$