Giải tích Ví dụ

$x^{3} d x + {(y + 1)}^{2} d y = 0$

Bước 1

Trừ $x^{3} d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

${(y + 1)}^{2} d y = - x^{3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int {(y + 1)}^{2} d y = \int - x^{3} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y + 1$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{2} d u = \int - x^{3} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y + 1$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \int x^{3} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Viết lại $- (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ ở dạng $- \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} = - \frac{1}{4} x^{4} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(y + 1)}^{3}$ .

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Kết hợp $x^{4}$ và $\frac{1}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$

Bước 3.2.2.1.3

Nhân $3 (- \frac{x^{4}}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

${(y + 1)}^{3} = - 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Bước 3.2.2.1.3.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{x^{4}}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = \frac{- 3 x^{4}}{4} + 3 K$

Bước 3.2.2.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

${(y + 1)}^{3} = - \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Bước 3.4

Rút gọn $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại.

$y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Bước 3.4.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Bước 3.4.3

Đưa $3$ ra ngoài $- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $- \frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Bước 3.4.3.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Bước 3.4.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)}$

Bước 3.4.4

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Bước 3.4.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Kết hợp $K$ và $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Bước 3.4.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Bước 3.4.6

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + 4 K}{4}}$

Bước 3.4.7

Kết hợp $3$ và $\frac{- x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$

Bước 3.4.8

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Bước 3.4.9

Nhân $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Bước 3.4.10

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.10.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Bước 3.4.10.2

Nâng $\sqrt[3]{4}$ lên lũy thừa $1$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Bước 3.4.10.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Bước 3.4.10.4

Cộng $1$ và $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Bước 3.4.10.5

Viết lại ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ ở dạng $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.10.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{4}$ ở dạng $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 3.4.10.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 3.4.10.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.4.10.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.10.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.4.10.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Bước 3.4.10.5.5

Tính số mũ.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Bước 3.4.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.11.1

Viết lại ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Bước 3.4.11.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Bước 3.4.11.3

Viết lại $16$ ở dạng $2^{3} \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.11.3.1

Đưa $8$ ra ngoài $16$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Bước 3.4.11.3.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Bước 3.4.11.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Bước 3.4.11.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.11.5.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Bước 3.4.11.5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Bước 3.4.12

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Bước 3.4.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Bước 3.4.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2}$

Bước 3.5

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$

Bước 3.6

Rút gọn $\frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 3.6.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Bước 3.6.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 3.6.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 2}{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + K)} - 2}{2}$