Giải tích Ví dụ

$(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y^{2} - 3 y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} - 3 y - x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 3 y$ đối với $y$ là $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3 + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $2 y - 3$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 3$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - 3]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.3

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 2.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y - 3$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y - 3 = 0$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 y - 3 = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $2 y - 3$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{N}$

Bước 4.3

Thay $2 y - 3$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $2 y - 3$ bằng $N$ .

$\frac{2 y - 3 + 0}{2 y - 3}$

Bước 4.3.2

Cộng $2 y - 3$ và $0$ .

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2 y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y - 3}{2 y - 3}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$1$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Bước 5.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(y^{2} - 3 y - x) d x + (2 y - 3) d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $y^{2} - 3 y - x$ với $e^{x}$ .

$(y^{2} - 3 y - x) e^{x} d x + (2 y - 3) d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $2 y - 3$ với $e^{x}$ .

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y - 3) e^{x} d y = 0$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}) d x + (2 y e^{x} - 3 e^{x}) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} - 3 e^{x} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = 2 y e^{x} - 3 e^{x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int 2 y e^{x} d y + \int - 3 e^{x} d y$

Bước 8.2

Vì $2 e^{x}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2 e^{x}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 e^{x} \int y d y + \int - 3 e^{x} d y$

Bước 8.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 3 e^{x} d y$

Bước 8.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

Bước 8.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{x} (\frac{y^{2}}{2} + C) - 3 e^{x} y + C$

Bước 8.6

Rút gọn.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{x} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $e^{x} y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Bước 11.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Vì $- 3 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 e^{x} y$ đối với $x$ là $- 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Bước 11.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Bước 11.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Bước 11.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Bước 11.6.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $y^{2} e^{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} - 3 y e^{x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x}$

Bước 12.1.2

Cộng $3 y e^{x}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$

Bước 12.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} - y^{2} e^{x} + 3 y e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Trừ $y^{2} e^{x}$ khỏi $y^{2} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 0 + 3 y e^{x}$

Bước 12.1.3.2

Cộng $- 3 y e^{x} - x e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 y e^{x} - x e^{x} + 3 y e^{x}$

Bước 12.1.3.3

Cộng $- 3 y e^{x}$ và $3 y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x} + 0$

Bước 12.1.3.4

Cộng $- x e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- x e^{x}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - x e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x e^{x} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x e^{x} d x$

Bước 13.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int x e^{x} d x$

Bước 13.4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Bước 13.5

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$g (x) = - (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Bước 13.6

Rút gọn.

$g (x) = - (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - (x e^{x}) - - e^{x} + C$

Bước 15.1.2

Nhân $- - e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + 1 e^{x} + C$

Bước 15.1.2.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$

Bước 15.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = e^{x} y^{2} - 3 e^{x} y - x e^{x} + e^{x} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{x} - 3 y e^{x} - x e^{x} + e^{x} + C$