Giải tích Ví dụ

$x (1 + 3 y^{2}) d y - (1 + 2 x^{2}) d x = 0$

Bước 1

Cộng $(1 + 2 x^{2}) d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$x (1 + 3 y^{2}) d y = (1 + 2 x^{2}) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1 + 2 x^{2}$ .

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 1 + 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d y + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.2.3

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} + 3 \int y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Rút gọn.

$y + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.2.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.2.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + 1 y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.2.5.2.3

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$y + y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.2.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x$

Bước 4.3.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

Bước 4.3.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

Bước 4.3.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{1} d x$

Bước 4.3.3.2.5

Chia $2 x$ cho $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int 2 x d x$

Bước 4.3.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int 2 x d x$

Bước 4.3.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 \int x d x$

Bước 4.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Rút gọn.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{6}$

Bước 4.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

Bước 4.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

Bước 4.3.7.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 1 x^{2} + C_{6}$

Bước 4.3.7.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + x^{2} + C_{6}$

Bước 4.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y^{3} + y + C_{3} = x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y^{3} + y = x^{2} + \ln (| x |) + C$