Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$y + C_{1} = \int {(1 - \tan (x))}^{5} \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 1 - \tan (x)$ . Sau đó $d u = - \sec^{2} (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 1 - \tan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $1 - \tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]$

Bước 2.3.2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Bước 2.3.2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Bước 2.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \tan (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$0 - \sec^{2} (x)$

Bước 2.3.2.1.4

Trừ $\sec^{2} (x)$ khỏi $0$ .

$- \sec^{2} (x)$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int - u^{5} d u$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int u^{5} d u$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$

Bước 2.3.5

Viết lại $- (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$ ở dạng $- \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - \tan (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + K$