Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$

Bước 1

Để giải phương trình vi phân, để $v = y^{1 - n}$ trong đó $n$ là số mũ của $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Bước 2

Giải phương trình để tìm $y$ .

$y = v^{- 1}$

Bước 3

Lấy đạo hàm của $y$ đối với $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Bước 4

Lấy đạo hàm của $v^{- 1}$ đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lấy đạo hàm của $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1$ và $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Nhân $v$ với $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.4.3.2

Trừ $\frac{d}{d x} [v]$ khỏi $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [v]$ ở dạng $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Bước 5

Thay $- \frac{v'}{v^{2}}$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $v^{- 1}$ cho $y$ trong phương trình gốc $\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + x v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d v}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x \frac{1}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Bước 6.1.1.1.2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Bước 6.1.1.2

Rút gọn $x {(v^{- 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 1 \cdot 2}$

Bước 6.1.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 2}$

Bước 6.1.1.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x \frac{1}{v^{2}}$

Bước 6.1.1.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = \frac{x}{v^{2}}$

Bước 6.1.1.3

Trừ $\frac{x}{v}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$

Bước 6.1.1.4

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Bước 6.1.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Bước 6.1.1.4.2.2

Chia $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ cho $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Bước 6.1.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Bước 6.1.1.4.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \frac{x}{v^{2}}$ ở dạng $- \frac{x}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Bước 6.1.1.4.3.1.3

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{\frac{x}{v}}{1}$

Bước 6.1.1.4.3.1.4

Chia $\frac{x}{v}$ cho $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}$

Bước 6.1.1.5

Nhân cả hai vế với $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Bước 6.1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Bước 6.1.1.6.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.2.1

Rút gọn $(- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x}{v^{2}}$ vào tử số.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.2.1.3.1

Đưa $v$ ra ngoài $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Bước 6.1.1.6.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Bước 6.1.1.6.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} = - x + x v$

Bước 6.1.1.6.2.1.4

Rút gọn bằng cách giao hoán.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.2.1.4.1

Sắp xếp lại $x$ và $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + v x$

Bước 6.1.1.6.2.1.4.2

Sắp xếp lại $- x$ và $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x - x$

Bước 6.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $v x - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v - x$

Bước 6.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v + x \cdot - 1$

Bước 6.1.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x v + x \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v - 1)$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} (x (v - 1))$

Bước 6.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $v - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Đưa $v - 1$ ra ngoài $x (v - 1)$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Bước 6.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Bước 6.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = x$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{v - 1} d v = x d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{v - 1} d v = \int x d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giả sử $u = v - 1$ . Sau đó $d u = d v$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Hãy đặt $u = v - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d v}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Bước 6.2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $v - 1$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.2.1.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $v$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Bước 6.2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Bước 6.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $v - 1$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

Bước 6.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 6.3

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Để giải tìm $v$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| v - 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Bước 6.3.2

Viết lại $\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | v - 1 |$

Bước 6.3.3

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Bước 6.3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Bước 6.3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$v - 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Bước 6.3.3.4

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} + 1$

Bước 6.4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Viết lại $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ ở dạng $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} + 1$

Bước 6.4.2

Sắp xếp lại $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ và $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Bước 6.4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$v = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Bước 7

Thay $y^{- 1}$ bằng $v$ .

$y^{- 1} = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$