Giải tích Ví dụ

{(x + y)}^{2} d x + (2 x y + x^{2} - 1) d y = 0

${(x + y)}^{2} d x + (2 x y + x^{2} - 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm

\frac{\partial M}{\partial y}

$\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó

M (x, y) = {(x + y)}^{2}

$M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm

M

$M$ đối với

y

$y$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{2}]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{2}]$

Bước 1.2

Viết lại

{(x + y)}^{2}

${(x + y)}^{2}$ ở dạng

(x + y) (x + y)

$(x + y) (x + y)$ .

\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(x + y) (x + y)]

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [(x + y) (x + y)]$

Bước 1.3

Khai triển

$(x + y) (x + y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (x + y) + y (x + y)]$

Bước 1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y (x + y)]$

Bước 1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cdot x + x y + y x + y \cdot y]$

Bước 1.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Nhân

$x$ với

$x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y \cdot y]$

Bước 1.4.1.2

Nhân

$y$ với

$y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + y x + y^{2}]$

Bước 1.4.2

Cộng

$x y$ và

$y x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Sắp xếp lại

$y$ và

$x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + x y + x y + y^{2}]$

Bước 1.4.2.2

Cộng

$x y$ và

$x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + 2 x y + y^{2}]$

Bước 1.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$x^{2} + 2 x y + y^{2}$ đối với

$y$ là

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.6

Vì

$x^{2}$ là hằng số đối với

$y$ , đạo hàm của

$x^{2}$ đối với

$y$ là

$0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.7

Cộng

$0$ và

$\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.8

Vì

$2 x$ không đổi đối với

$y$ , nên đạo hàm của

$2 x y$ đối với

$y$ là

$2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là

$n y^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.10

Nhân

$2$ với

$1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là

$n y^{n - 1}$ trong đó

$n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

Bước 2

Tìm

$\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó

$N (x, y) = 2 x y + x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm

$N$ đối với

$x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2} - 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$2 x y + x^{2} - 1$ đối với

$x$ là

$\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3

Tính

$\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì

$2 y$ không đổi đối với

$x$ , nên đạo hàm của

$2 x y$ đối với

$x$ là

$2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.3

Nhân

$2$ với

$1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.4.2

Vì

$- 1$ là hằng số đối với

$x$ , đạo hàm của

$- 1$ đối với

$x$ là

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng

$2 y + 2 x$ và

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 2 x$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế

$2 x + 2 y$ vào

$\frac{\partial M}{\partial y}$ và

$2 x + 2 y$ vào

$\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt

$f (x, y)$ bằng tích phân của

$M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int {(x + y)}^{2} d x$

Bước 5

Lấy tích phân

$M (x, y) = {(x + y)}^{2}$ để tìm

$f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giả sử

$u = x + y$ . Sau đó

$d u = d x$ . Viết lại bằng

$u$ và

$d$

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Hãy đặt

$u = x + y$ . Tìm

$\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Tính đạo hàm

$x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Bước 5.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$x + y$ đối với

$x$ là

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 5.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là

$n x^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 5.1.1.4

Vì

$y$ là hằng số đối với

$x$ , đạo hàm của

$y$ đối với

$x$ là

$0$ .

$1 + 0$

Bước 5.1.1.5

Cộng

$1$ và

$0$ .

$1$

Bước 5.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

$u$ và

$d u$ .

$f (x, y) = \int u^{2} d u$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

$u^{2}$ đối với

$u$ là

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$x + y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Bước 6

Vì tích phân của

$g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế

$C$ bằng

$g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$

Bước 7

Đặt

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8

Tìm

$\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm

$f$ đối với

$y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ đối với

$y$ là

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3

Tính

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì

$\frac{1}{3}$ không đổi đối với

$y$ , nên đạo hàm của

$\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ đối với

$y$ là

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là

$f' (g (y)) g' (y)$ trong đó

$f (y) = y^{3}$ và

$g (y) = x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập

$u$ ở dạng

$x + y$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là

$n u^{n - 1}$ trong đó

$n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$x + y$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$x + y$ đối với

$y$ là

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.4

Vì

$x$ là hằng số đối với

$y$ , đạo hàm của

$x$ đối với

$y$ là

$0$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là

$n y^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} (0 + 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.6

Cộng

$0$ và

$1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.7

Nhân

$3$ với

$1$ .

$\frac{1}{3} (3 {(x + y)}^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.8

Kết hợp

$3$ và

$\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} {(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.9

Kết hợp

$\frac{3}{3}$ và

${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.10

Triệt tiêu thừa số chung

$3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 {(x + y)}^{2}}{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.3.10.2

Chia

${(x + y)}^{2}$ cho

$1$ .

${(x + y)}^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của

$g (y)$ là

$\frac{d g}{d y}$ .

${(x + y)}^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + {(x + y)}^{2} = 2 x y + x^{2} - 1$

Bước 9

Giải tìm

$\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Trừ

${(x + y)}^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của

$2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ để tìm

$g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

Bước 10.2

Tính

$\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 x y + x^{2} - 1 - {(x + y)}^{2} d y$

Bước 10.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int 2 x y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Bước 10.4

Vì

$2 x$ không đổi đối với

$y$ , hãy di chuyển

$2 x$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 x \int y d y + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

$y$ đối với

$y$ là

$\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Bước 10.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Bước 10.7

Kết hợp

$\frac{1}{2}$ và

$y^{2}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C + \int - 1 d y + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Bước 10.8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C + \int - {(x + y)}^{2} d y$

Bước 10.9

Vì

$- 1$ không đổi đối với

$y$ , hãy di chuyển

$- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int {(x + y)}^{2} d y$

Bước 10.10

Giả sử

$u = x + y$ . Sau đó

$d u = d y$ . Viết lại bằng

$u$ và

$d$

$u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.1

Hãy đặt

$u = x + y$ . Tìm

$\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.10.1.1

Tính đạo hàm

$x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Bước 10.10.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của

$x + y$ đối với

$y$ là

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 10.10.1.3

Vì

$x$ là hằng số đối với

$y$ , đạo hàm của

$x$ đối với

$y$ là

$0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 10.10.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là

$n y^{n - 1}$ trong đó

$n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 10.10.1.5

Cộng

$0$ và

$1$ .

$1$

Bước 10.10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng

$u$ và

$d u$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - \int u^{2} d u$

Bước 10.11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

$u^{2}$ đối với

$u$ là

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 10.12

Kết hợp

$\frac{1}{3}$ và

$u^{3}$ .

$g (y) = 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C - y + C - (\frac{u^{3}}{3} + C)$

Bước 10.13

Rút gọn.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{u^{3}}{3} + C$

Bước 10.14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của

$u$ với

$x + y$ .

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{{(x + y)}^{3}}{3} + C$

Bước 10.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.15.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - (\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}) + C$

Bước 10.15.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (y) = x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Bước 11

Thay cho

$g (y)$ trong

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$

Bước 12

Kết hợp các số hạng đối nhau trong

$\frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + x y^{2} + x^{2} y - y - \frac{1}{3} {(x + y)}^{3} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Trừ

$\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ khỏi

$\frac{1}{3} {(x + y)}^{3}$ .

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + 0 + C$

Bước 12.2

Cộng

$x y^{2} + x^{2} y - y$ và

$0$ .

$f (x, y) = x y^{2} + x^{2} y - y + C$