Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + y = 2 + 2 x$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int d x}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \cdot 2 + e^{x} (2 x)$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 \cdot e^{x} + e^{x} (2 x)$

Bước 2.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{x} + 2 e^{x} x$

Bước 2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{x} + 2 e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 2 e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 2 e^{x} + 2 x e^{x}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 2 e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x} y = \int 2 e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{x} y = \int 2 e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 6.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{x} y = 2 \int e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 6.3

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + \int 2 x e^{x} d x$

Bước 6.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 \int x e^{x} d x$

Bước 6.5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Bước 6.6

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Bước 6.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Rút gọn.

$e^{x} y = 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Bước 6.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.1

Trừ $2 e^{x}$ khỏi $2 e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 x e^{x} + 0 + C$

Bước 6.7.2.2

Cộng $2 x e^{x}$ và $0$ .

$e^{x} y = 2 x e^{x} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} y = 2 x e^{x} + C$ cho $e^{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} y = 2 x e^{x} + C$ cho $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $2 x$ cho $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{e^{x}}$