Giải tích Ví dụ

$y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 y t + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t + 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 y t + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y t] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Vì $2 y t$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y t$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 0$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 y = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (2 y)}{M}$

Bước 4.3

Thay $y^{2}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $y^{2}$ bằng $M$ .

$\frac{0 - (2 y)}{y^{2}}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0 - 2 y}{y^{2}}$

Bước 4.3.2.2

Trừ $2 y$ khỏi $0$ .

$\frac{- 2 y}{y^{2}}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y^{2}}$

Bước 4.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Bước 4.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \cdot - 2}{y \cdot y}$

Bước 4.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{y}$

Bước 4.3.4

Thay $y^{2}$ bằng $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Bước 5.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.5

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Bước 5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn $- 2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Bước 5.6.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Bước 5.6.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{- 2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Bước 5.6.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $y^{2} d t + (2 y t + 1) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $y^{2}$ với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} \frac{1}{y^{2}} d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Bước 6.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 d t + (2 y t + 1) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $2 y t + 1$ với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + (2 y t + 1) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $2 y t + 1$ với $\frac{1}{y^{2}}$ .

$1 d t + \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = 1$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [x + g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Bước 11.3

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Bước 11.5

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$

Bước 12

Tìm nguyên hàm của $\frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = \frac{2 y t + 1}{y^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Bước 12.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2 y t + 1}{y^{2}} d y$

Bước 12.3

Di chuyển $y^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y$

Bước 12.4

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{2 \cdot - 1} d y$

Bước 12.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$g (y) = \int (2 y t + 1) y^{- 2} d y$

Bước 12.5

Khai triển $(2 y t + 1) y^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y$

Bước 12.5.2

Nhân $y^{- 2}$ với $1$ .

$g (y) = \int 2 y t y^{- 2} + y^{- 2} d y$

Bước 12.6

Nhân $y$ với $y^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.1

Di chuyển $y^{- 2}$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y) t + y^{- 2} d y$

Bước 12.6.2

Nhân $y^{- 2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.6.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$g (y) = \int 2 (y^{- 2} y^{1}) t + y^{- 2} d y$

Bước 12.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$g (y) = \int 2 y^{- 2 + 1} t + y^{- 2} d y$

Bước 12.6.3

Cộng $- 2$ và $1$ .

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t + y^{- 2} d y$

Bước 12.7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int 2 y^{- 1} t d y + \int y^{- 2} d y$

Bước 12.8

Vì $2 t$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2 t$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 t \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y$

Bước 12.9

Tích phân của $y^{- 1}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) + \int y^{- 2} d y$

Bước 12.10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 2}$ đối với $y$ là $- y^{- 1}$ .

$g (y) = 2 t (\ln (| y |) + C) - y^{- 1} + C$

Bước 12.11

Rút gọn.

$g (y) = 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Bước 13

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = x + g (y)$ .

$f (x, y) = x + 2 t \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C$

Bước 14

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (x, y) = x + t \ln ({| y |}^{2}) - \frac{1}{y} + C$

Bước 14.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$f (x, y) = x + t \ln (y^{2}) - \frac{1}{y} + C$