Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (x - 1)$ , $y (1) = 6$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 4 \cos (x - 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 4 \cos (x - 1) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 4 \cos (x - 1) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 \int \cos (x - 1) d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = x - 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \cos (u) d u$

Bước 2.3.3

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = 4 (\sin (u) + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = 4 \sin (u) + C_{2}$

Bước 2.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$y + C_{1} = 4 \sin (x - 1) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 4 \sin (x - 1) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $6$ cho $y$ trong $y = 4 \sin (x - 1) + K$ .

$6 = 4 \sin (1 - 1) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \sin (1 - 1) + K = 6$ .

$4 \sin (1 - 1) + K = 6$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $4 \sin (1 - 1) + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$4 \sin (0) + K = 6$

Bước 4.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.2.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$4 \cdot 0 + K = 6$

Bước 4.2.1.2.2

Nhân $4$ với $0$ .

$0 + K = 6$

Bước 4.2.1.3

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 6$

Bước 5

Thay $6$ cho $K$ trong $y = 4 \sin (x - 1) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $6$ bằng $K$ .

$y = 4 \sin (x - 1) + 6$