Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y + y$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y + y$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y + y$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2 x^{2} y}{x} + \frac{y}{x}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2 x^{2} y}{x} + \frac{y}{x}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} y}{x} + \frac{y}{x}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 x y)}{x} + \frac{y}{x}$

Bước 1.1.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 x y)}{x^{1}} + \frac{y}{x}$

Bước 1.1.2.3.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 x y)}{x \cdot 1} + \frac{y}{x}$

Bước 1.1.2.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 x y)}{x \cdot 1} + \frac{y}{x}$

Bước 1.1.2.3.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{1} + \frac{y}{x}$

Bước 1.1.2.3.1.2.5

Chia $2 x y$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + \frac{y}{x}$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 x y + \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (2 x) + \frac{y}{x}$

Bước 1.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (2 x) + y \frac{1}{x}$

Bước 1.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (2 x) + y \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (2 x + \frac{1}{x})$

Bước 1.2.2

Để viết $2 x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{2 x \cdot x}{x} + \frac{1}{x})$

Bước 1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{2 x \cdot x + 1}{x}$

Bước 1.2.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{2 (x \cdot x) + 1}{x}$

Bước 1.2.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{2 x^{2} + 1}{x}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x^{2} + 1}{x})$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{2 x^{2} + 1}{x})$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + 1}{x}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2 x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x (2 x)}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3.2.5

Chia $2 x$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.6

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = x^{2} + \ln (| x |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = x^{2} + C$

Bước 3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x^{2} + C$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{x^{2} + C}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = x^{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y |}{| x |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{x^{2} + C}$

Bước 3.5.2

Nhân cả hai vế với $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x^{2} + C} | x |$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{x^{2} + C} | x |$

Bước 3.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = e^{x^{2} + C} | x |$

Bước 3.5.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x^{2} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{x^{2} + C}$

Bước 3.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{x^{2} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{x^{2} + C}$ ở dạng $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{x^{2}} e^{C})$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{x^{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{x^{2}})$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C | x | e^{x^{2}}$