Giải tích Ví dụ

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} y^{3} = x^{4}$

Bước 1

Giả sử $v = y^{3}$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $y^{3}$ .

$3 y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d x}$ bằng cách tính đạo hàm $y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 y^{2} y'$

Bước 3

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y^{2} \frac{\frac{d v}{d x}}{3 y^{2}} + x^{- 1} v = x^{4}$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} + x^{- 1} v = x^{4}$

Bước 3.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = x^{4}$

Bước 4

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $v$ ra ngoài $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = x^{4}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $v$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = x^{4}$

Bước 5

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 5.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (x)}$

Bước 5.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x$

Bước 6

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân từng số hạng với $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x \cdot x^{4}$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Bước 6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x \cdot x^{4}$

Bước 6.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d v}{d x} + v = x \cdot x^{4}$

Bước 6.3

Nhân $x$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1} x^{4}$

Bước 6.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{1 + 4}$

Bước 6.3.2

Cộng $1$ và $4$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = x^{5}$

Bước 7

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x v] = x^{5}$

Bước 8

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int x^{5} d x$

Bước 9

Lấy tích phân vế trái.

$x v = \int x^{5} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$

Bước 11

Chia mỗi số hạng trong $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Chia mỗi số hạng trong $x v = \frac{1}{6} x^{6} + C$ cho $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 11.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x v}{x} = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 11.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{6}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 11.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{6}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 11.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Bước 11.3.1.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 11.3.1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = \frac{x (\frac{1}{6} x^{5})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 11.3.1.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$v = \frac{\frac{1}{6} x^{5}}{1} + \frac{C}{x}$

Bước 11.3.1.1.2.5

Chia $\frac{1}{6} x^{5}$ cho $1$ .

$v = \frac{1}{6} x^{5} + \frac{C}{x}$

Bước 11.3.1.2

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $x^{5}$ .

$v = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $y^{3}$ .

$y^{3} = \frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}$

Bước 13

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$

Bước 13.2

Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} + \frac{C}{x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Để viết $\frac{x^{5}}{6}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x}}$

Bước 13.2.2

Để viết $\frac{C}{x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5}}{6} \cdot \frac{x}{x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Bước 13.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6 x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.3.1

Nhân $\frac{x^{5}}{6}$ với $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C}{x} \cdot \frac{6}{6}}$

Bước 13.2.3.2

Nhân $\frac{C}{x}$ với $\frac{6}{6}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{x \cdot 6}}$

Bước 13.2.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $x \cdot 6$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x}{6 x} + \frac{C \cdot 6}{6 x}}$

Bước 13.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x + C \cdot 6}{6 x}}$

Bước 13.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.5.1

Nhân $x^{5}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.5.1.1

Nhân $x^{5}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.5.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5} x^{1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Bước 13.2.5.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{5 + 1} + C \cdot 6}{6 x}}$

Bước 13.2.5.1.2

Cộng $5$ và $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + C \cdot 6}{6 x}}$

Bước 13.2.5.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$

Bước 13.2.6

Viết lại $\sqrt[3]{\frac{x^{6} + 6 C}{6 x}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$

Bước 13.2.7

Nhân $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Bước 13.2.8

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.8.1

Nhân $\frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C}}{\sqrt[3]{6 x}}$ với $\frac{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{\sqrt[3]{6 x} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Bước 13.2.8.2

Nâng $\sqrt[3]{6 x}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}$

Bước 13.2.8.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{1 + 2}}$

Bước 13.2.8.4

Cộng $1$ và $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{\sqrt[3]{6 x}}^{3}}$

Bước 13.2.8.5

Viết lại ${\sqrt[3]{6 x}}^{3}$ ở dạng $6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.8.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{6 x}$ ở dạng ${(6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{({(6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Bước 13.2.8.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Bước 13.2.8.5.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Bước 13.2.8.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.8.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{\frac{3}{3}}}$

Bước 13.2.8.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{{(6 x)}^{1}}$

Bước 13.2.8.5.5

Rút gọn.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} {\sqrt[3]{6 x}}^{2}}{6 x}$

Bước 13.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.9.1

Viết lại ${\sqrt[3]{6 x}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{{(6 x)}^{2}}}{6 x}$

Bước 13.2.9.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $6 x$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{6^{2} x^{2}}}{6 x}$

Bước 13.2.9.3

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 6 C} \sqrt[3]{36 x^{2}}}{6 x}$

Bước 13.2.10

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$

Bước 13.2.11

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{\sqrt[3]{(x^{6} + 6 C) \cdot 36 x^{2}}}{6 x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + 6 C)}}{6 x}$

Bước 14

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{\sqrt[3]{36 x^{2} (x^{6} + C)}}{6 x}$