Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - 2 y = y^{2}$

Bước 1

Để giải phương trình vi phân, để $v = y^{1 - n}$ trong đó $n$ là số mũ của $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Bước 2

Giải phương trình để tìm $y$ .

$y = v^{- 1}$

Bước 3

Lấy đạo hàm của $y$ đối với $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Bước 4

Lấy đạo hàm của $v^{- 1}$ đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lấy đạo hàm của $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Bước 4.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1$ và $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Nhân $v$ với $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.4.3.2

Trừ $\frac{d}{d x} [v]$ khỏi $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Bước 4.5

Viết lại $\frac{d}{d x} [v]$ ở dạng $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Bước 5

Thay $- \frac{v'}{v^{2}}$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $v^{- 1}$ cho $y$ trong phương trình gốc $\frac{d y}{d x} - 2 y = y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - 2 v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d v}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v} = {(v^{- 1})}^{2}$

Bước 6.1.1.1.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{- 2}{v} = {(v^{- 1})}^{2}$

Bước 6.1.1.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{2}{v} = {(v^{- 1})}^{2}$

Bước 6.1.1.2

Rút gọn ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{2}{v} = v^{- 1 \cdot 2}$

Bước 6.1.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{2}{v} = v^{- 2}$

Bước 6.1.1.2.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{2}{v} = \frac{1}{v^{2}}$

Bước 6.1.1.3

Cộng $\frac{2}{v}$ cho cả hai vế của phương trình.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{2}{v}$

Bước 6.1.1.4

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{2}{v}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{2}{v}$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{2}{v}}{- 1}$

Bước 6.1.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{2}{v}}{- 1}$

Bước 6.1.1.4.2.2

Chia $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ cho $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{2}{v}}{- 1}$

Bước 6.1.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\frac{1}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{2}{v}}{- 1}$

Bước 6.1.1.4.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \frac{1}{v^{2}}$ ở dạng $- \frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{2}{v}}{- 1}$

Bước 6.1.1.4.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\frac{2}{v}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{v}$

Bước 6.1.1.4.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot \frac{2}{v}$ ở dạng $- \frac{2}{v}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} - \frac{2}{v}$

Bước 6.1.1.5

Nhân cả hai vế với $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{1}{v^{2}} - \frac{2}{v}) v^{2}$

Bước 6.1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{1}{v^{2}} - \frac{2}{v}) v^{2}$

Bước 6.1.1.6.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{2}} - \frac{2}{v}) v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.2.1

Rút gọn $(- \frac{1}{v^{2}} - \frac{2}{v}) v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{2}{v} v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $v^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.2.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{v^{2}}$ vào tử số.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{2}} v^{2} - \frac{2}{v} v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{2}} v^{2} - \frac{2}{v} v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} = - 1 - \frac{2}{v} v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.6.2.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{2}{v}$ vào tử số.

$\frac{d v}{d x} = - 1 + \frac{- 2}{v} v^{2}$

Bước 6.1.1.6.2.1.3.2

Đưa $v$ ra ngoài $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 + \frac{- 2}{v} (v \cdot v)$

Bước 6.1.1.6.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} = - 1 + \frac{- 2}{v} (v \cdot v)$

Bước 6.1.1.6.2.1.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d v}{d x} = - 1 - 2 v$

Bước 6.1.1.6.2.1.4

Sắp xếp lại $- 1$ và $- 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 1$

Bước 6.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{- 2 v - 1}$ .

$\frac{1}{- 2 v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 1} (- 2 v - 1)$

Bước 6.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Nhân $\frac{1}{- 2 v - 1}$ với $- 2 v - 1$ .

$\frac{1}{- 2 v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 1}{- 2 v - 1}$

Bước 6.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $- 2 v - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{- 2 v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 1}{- 2 v - 1}$

Bước 6.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- 2 v - 1} \frac{d v}{d x} = 1$

Bước 6.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{- 2 v - 1} d v = 1 d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{- 2 v - 1} d v = \int d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giả sử $u = - 2 v - 1$ . Sau đó $d u = - 2 d v$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d v$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Hãy đặt $u = - 2 v - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d v}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $- 2 v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 1]$

Bước 6.2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 v - 1$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.2.1.1.3

Tính $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $v$ , nên đạo hàm của $- 2 v$ đối với $v$ là $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.2.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.2.1.1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Bước 6.2.2.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $v$ là $0$ .

$- 2 + 0$

Bước 6.2.2.1.1.4.2

Cộng $- 2$ và $0$ .

$- 2$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int d x$

Bước 6.2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int d x$

Bước 6.2.2.2.2

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Bước 6.2.2.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Bước 6.2.2.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Bước 6.2.2.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Bước 6.2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Bước 6.2.2.6

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Bước 6.2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 v - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 1 |) + C_{1} = \int d x$

Bước 6.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 1 |) = x + C$

Bước 6.3

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 1 |)) = - 2 (x + C)$

Bước 6.3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Rút gọn $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 1 |))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1

Kết hợp $\ln (| - 2 v - 1 |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 1 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Bước 6.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\ln (| - 2 v - 1 |)}{2}$ vào tử số.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 1 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Bước 6.3.2.1.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 1 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Bước 6.3.2.1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 1 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Bước 6.3.2.1.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$- - \ln (| - 2 v - 1 |) = - 2 (x + C)$

Bước 6.3.2.1.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \ln (| - 2 v - 1 |) = - 2 (x + C)$

Bước 6.3.2.1.1.3.2

Nhân $\ln (| - 2 v - 1 |)$ với $1$ .

$\ln (| - 2 v - 1 |) = - 2 (x + C)$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| - 2 v - 1 |) = - 2 x - 2 C$

Bước 6.3.3

Để giải tìm $v$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| - 2 v - 1 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Bước 6.3.4

Viết lại $\ln (| - 2 v - 1 |) = - 2 x - 2 C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 1 |$

Bước 6.3.5

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $| - 2 v - 1 | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| - 2 v - 1 | = e^{- 2 x - 2 C}$

Bước 6.3.5.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$- 2 v - 1 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Bước 6.3.5.3

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 1$

Bước 6.3.5.4

Chia mỗi số hạng trong $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 1$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 1$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Bước 6.3.5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Bước 6.3.5.4.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Bước 6.3.5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.4.3.1.1

Rút gọn $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{1}{- 2}$

Bước 6.3.5.4.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 6.3.5.4.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1}{2}$

Bước 6.4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 1}{2}$

Bước 6.4.2

Viết lại $e^{- 2 x + C}$ ở dạng $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 1}{2}$

Bước 6.4.3

Sắp xếp lại $e^{- 2 x}$ và $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 1}{2}$

Bước 6.4.4

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 1}{2}$

Bước 7

Thay $y^{- 1}$ bằng $v$ .

$y^{- 1} = \frac{C e^{- 2 x} - 1}{2}$