Giải tích Ví dụ

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ cho $x y^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ cho $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Bước 1.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Bước 1.1.2.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{3}$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Bước 1.1.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1.2.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Bước 1.1.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Bước 1.1.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Bước 1.1.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Bước 1.1.3.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x (y^{2})}$

Bước 1.1.3.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Bước 1.1.3.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Bước 1.1.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $f (\frac{y}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ ở dạng ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{x}{y})}^{2}$

Bước 1.2.2

Viết lại $\frac{x}{y}$ ở dạng ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(V^{- 1})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 1 \cdot 2}$

Bước 6.1.1.1.1.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 2}$

Bước 6.1.1.1.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - \frac{1}{V^{2}}$

Bước 6.1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V^{2}} - V$

Bước 6.1.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V - \frac{1}{V^{2}} - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} + 0$

Bước 6.1.1.2.2.2

Cộng $- \frac{1}{V^{2}}$ và $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Bước 6.1.1.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 6.1.1.3.3.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V^{2}}$

Bước 6.1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

Bước 6.1.3

Nhân cả hai vế với $V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Bước 6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Bước 6.1.4.2

Kết hợp.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Bước 6.1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $V^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.4.3.1

Đưa $V^{2}$ ra ngoài $- V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Bước 6.1.4.3.2

Đưa $V^{2}$ ra ngoài $x V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Bước 6.1.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Bước 6.1.4.3.4

Viết lại biểu thức.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 \cdot 1}{x}$

Bước 6.1.4.4

Nhân $1$ với $1$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Bước 6.1.5

Viết lại phương trình.

$V^{2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $V^{2}$ đối với $V$ là $\frac{1}{3} V^{3}$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 6.2.3.3

Rút gọn.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{3} V^{3} = - \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Bước 6.3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Rút gọn $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $V^{3}$ .

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Bước 6.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Bước 6.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Rút gọn $3 (- \ln (| x |) + C)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Bước 6.3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$V^{3} = - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Bước 6.3.3

Rút gọn $- 3 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$V^{3} = - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Bước 6.3.4

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Bước 6.4

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Bước 8.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$