Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2} + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

Bước 1.1.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 (1 - x^{2}) + y^{2} \cdot (1 - x^{2})}{x^{2}}$

Bước 1.1.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $1 - x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Bước 1.1.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Bước 1.1.4

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2}))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $1 + y^{2}$ ra ngoài $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

Bước 1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3

Khai triển $(1 + x) (1 - x) x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x)) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + x \cdot 1 x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.7

Sắp xếp lại $x$ và $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.8

Sắp xếp lại $x$ và $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} - 1 \cdot x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.9

Nhân $1$ với $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.10

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.11

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.12

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x \cdot x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.13

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{1} x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{1 - 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.15

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.16

Nhân $x$ với $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.17

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1} x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1 - 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.19

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.20

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x \cdot x) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.21

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.22

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.23

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.24

Cộng $1$ và $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2} x^{- 2} d x$

Bước 2.3.3.25

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{2} x^{- 2}) d x$

Bước 2.3.3.26

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2 - 2} d x$

Bước 2.3.3.27

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{0} d x$

Bước 2.3.3.28

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 \cdot 1 d x$

Bước 2.3.3.29

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 d x$

Bước 2.3.3.30

Cộng $- x^{- 1}$ và $x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 0 - 1 d x$

Bước 2.3.3.31

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - 1 d x$

Bước 2.3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - 1 d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - 1 d x$

Bước 2.3.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - x + C_{3}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} - x + C_{4}$

Bước 2.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\arctan (y) + C_{1} = - x - \frac{1}{x} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = - x - \frac{1}{x} + K$

Bước 3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (- x - \frac{1}{x} + K)$