Giải tích Ví dụ

$(2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3) d x - (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.2.2

Vì $2 x^{3}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- x y^{2}$ đối với $y$ là $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 y$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.4.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 1.5

Vì $3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + 0$

Bước 1.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Trừ $2 x y$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2 + 0$

Bước 1.6.2

Cộng $- 2 x y - 2$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} y + 2 x)]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (x^{2} y + 2 x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.4

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot y x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \cdot 1)$

Bước 2.9

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2)$

Bước 2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x) - 1 \cdot 2$

Bước 2.10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (y x) - 1 \cdot 2$

Bước 2.10.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x - 2$

Bước 2.10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y - 2$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 2 x y - 2$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2 x y - 2$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} y + 2 x) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - \int x^{2} y + 2 x d y$

Bước 5.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = - (\int x^{2} y d y + \int 2 x d y)$

Bước 5.3

Vì $x^{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - (x^{2} \int y d y + \int 2 x d y)$

Bước 5.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y)$

Bước 5.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C)$

Bước 5.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C)$

Bước 5.7

Rút gọn.

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + C$

Bước 5.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.2.1.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3.3

Vì $\frac{y^{2}}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3.5

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3.7

Kết hợp $2$ và $\frac{y^{2}}{2}$ .

$- (\frac{2 y^{2}}{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3.8

Kết hợp $\frac{2 y^{2}}{2}$ và $x$ .

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3.9.2

Chia $y^{2} x$ cho $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.3.10

Nhân $2$ với $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (y^{2} x) - (2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 8.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng $y^{2} x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x$

Bước 9.1.2

Cộng $2 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $- x y^{2}$ và $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - y^{2} x - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Bước 9.1.3.2

Cộng $- y^{2} x$ và $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

Bước 9.1.3.3

Cộng $2 x^{3} - 2 y + 3$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 2 y$

Bước 9.1.3.4

Cộng $- 2 y$ và $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

Bước 9.1.3.5

Cộng $2 x^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2 x^{3} + 3$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Bước 10.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

Bước 10.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

Bước 10.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

Bước 10.7

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

Bước 10.8

Rút gọn.

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

Bước 10.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Bước 12.1.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - (2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Bước 12.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 (x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Bước 12.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$