Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = y e^{- x^{2}}$ , $y (4) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{- x^{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{- x^{2}}))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = e^{- x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{- x^{2}} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

Bước 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ là một tích phân đặc biệt. Tích phân này là hàm lỗi.

$\ln (| y |) + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = erf (x) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e r f (x) + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = e r f (x) + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{e r f (x) + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{e r f (x) + C}$ .

$| y | = e^{e r f (x) + C}$

Bước 3.3.2

Nhân $e r f$ với $x$ .

$| y | = e^{e r f x + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{e r f x + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{e r f x + C}$ ở dạng $e^{e r f x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{e r f x} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{e r f x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{e r f x}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{e r f x}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $4$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = C e^{e r f x}$ .

$1 = C e^{e r f \cdot 4}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ .

$C e^{e r f \cdot 4} = 1$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ cho $e^{e r f \cdot 4}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ cho $e^{e r f \cdot 4}$ .

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{e r f \cdot 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Bước 6.2.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e r f$ .

$C = \frac{1}{e^{4 e r f}}$

Bước 7

Thay $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ cho $C$ trong $y = C e^{e r f x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ bằng $C$ .

$y = \frac{1}{e^{4 e r f}} e^{e r f x}$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ và $e^{e r f x}$ .

$y = \frac{e^{e r f x}}{e^{4 e r f}}$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{e r f x}$ và $e^{4 e r f}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đưa $e^{4 e r f}$ ra ngoài $e^{e r f x}$ .

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f}}$

Bước 7.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

Bước 7.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{e^{e r f x - 4 e r f}}{1}$

Bước 7.3.2.4

Chia $e^{e r f x - 4 e r f}$ cho $1$ .

$y = e^{e r f x - 4 e r f}$