Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + P y = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $P y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = - P y$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- P y)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (P y)$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y}$ vào tử số.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (P y)$

Bước 1.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $P y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y P)$

Bước 1.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y P)$

Bước 1.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - P$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = - P d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - P d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - P d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - P x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - P x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- P x + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - P x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- P x + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- P x + C}$ .

$| y | = e^{- P x + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- P x + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- P x + C}$ ở dạng $e^{- P x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- P x} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- P x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- P x}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- P x}$