Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{1 - y^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\sqrt{1 - y^{2}}$ ra ngoài $x \sqrt{1 - y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = \int x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} d y = \int x d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}$ đối với $y$ là $\arcsin (y)$

$\arcsin (y) + C_{1} = \int x d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arcsin (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy nghịch đảo arcsin cho cả hai vế của phương trình để rút $y$ từ bên trong arcsin.

$y = \sin (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \sin (\frac{x^{2}}{2} + K)$