Giải tích Ví dụ

$(2 x^{2} y + 2 x) \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Bước 1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Trừ $2 x y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

Bước 1.1.2.2

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Bước 1.1.3

Đưa $2 x \frac{d y}{d x}$ ra ngoài $2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Đưa $2 x \frac{d y}{d x}$ ra ngoài $2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Bước 1.1.3.2

Đưa $2 x \frac{d y}{d x}$ ra ngoài $2 x \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

Bước 1.1.3.3

Đưa $2 x \frac{d y}{d x}$ ra ngoài $2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

Bước 1.1.4

Chia mỗi số hạng trong $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ cho $2 x (x y + 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ cho $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.2.3.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Bước 1.1.4.3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Bước 1.1.4.3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.2

Để viết $- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(x y + 1) x$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.3.1

Nhân $\frac{y^{2}}{x y + 1}$ với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $(x y + 1) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.5

Đưa $y$ ra ngoài $- y^{2} x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.5.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.5.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.5.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (- y x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- y x - 1$ và $x y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.6.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.6.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.6.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (y x) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.6.4

Viết lại $- (y x + 1)$ ở dạng $- 1 (y x + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.6.6

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Bước 1.1.4.3.6.7

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Bước 1.1.4.3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.7.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Bước 1.1.4.3.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y}$ vào tử số.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Bước 3.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Bước 3.3

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| y x |) = C$

Bước 3.4

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Bước 3.5

Viết lại $\ln (| y x |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Bước 3.6

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Bước 3.6.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Bước 3.6.3

Chia mỗi số hạng trong $y x = \pm e^{C}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y x = \pm e^{C}$ cho $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Bước 3.6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Bước 3.6.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{C}{x}$