Giải tích Ví dụ

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x = (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $(3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{3} + y^{2} \sin (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Bước 2.2.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{3}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $\sin (x)$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{2} \sin (x)$ đối với $y$ là $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) (2 y)$

Bước 2.4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sin (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Trừ $3 y^{2}$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$

Bước 3.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x y^{2} + 2 y \cos (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Bước 3.2.3

Vì $3 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x y^{2}$ đối với $x$ là $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Bước 3.2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Bước 3.2.6

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y \cos (x)$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y (- \sin (x)))$

Bước 3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} - 2 y \sin (x))$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2}) - (- 2 y \sin (x))$

Bước 3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} - (- 2 y \sin (x))$

Bước 3.5.2.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Bước 4.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ là một đẳng thức.

Bước 5

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Bước 6

Lấy tích phân $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - \int 3 x y^{2} + 2 y \cos (x) d y$

Bước 6.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = - (\int 3 x y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Bước 6.3

Vì $3 x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3 x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - (3 x \int y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Bước 6.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y \cos (x) d y)$

Bước 6.5

Vì $2 \cos (x)$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2 \cos (x)$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) \int y d y)$

Bước 6.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Bước 6.7

Rút gọn.

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + C$

Bước 7

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$

Bước 8

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.3

Tính $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y^{3} + \cos (x) y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.3.3

Vì $y^{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y^{3}$ đối với $x$ là $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.3.5

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\cos (x) y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.3.6

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.3.7

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y^{3} - (y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- y^{3} + 1 (y^{2} (\sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.5.2.2

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$- y^{3} + y^{2} \sin (x) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 9.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - y^{3} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Bước 10

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Cộng $y^{3}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3}$

Bước 10.1.2

Trừ $y^{2} \sin (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$

Bước 10.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.3.1

Cộng $- y^{3}$ và $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) + 0 - y^{2} \sin (x)$

Bước 10.1.3.2

Cộng $x + y^{2} \sin (x)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) - y^{2} \sin (x)$

Bước 10.1.3.3

Trừ $y^{2} \sin (x)$ khỏi $y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Bước 10.1.3.4

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Bước 11

Tìm nguyên hàm của $x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Bước 11.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Bước 11.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 13

Rút gọn $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = - (x y^{3}) - (\cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 13.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 13.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - y^{2} \cos (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$