Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{3} \cdot \frac{d y}{d x} = y + \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$

Bước 1.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x}$ với $3$ .

$\frac{1}{3} \frac{d y}{d x} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Bước 1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{3} \cdot 3 - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} - y \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Bước 1.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{3} x^{2} e^{3 x} \cdot 3$

Bước 1.6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2}}{3} e^{3 x} \cdot 3$

Bước 1.7

Kết hợp $\frac{x^{2}}{3}$ và $e^{3 x}$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{x^{2} e^{3 x}}{3} \cdot 3$

Bước 1.8

Kết hợp $\frac{x^{2} e^{3 x}}{3}$ và $3$ .

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

Bước 1.9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{3}{3} x^{2} e^{3 x}$

Bước 1.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 1 x^{2} e^{3 x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 3 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- 3 x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 3 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- 3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (1 x^{2} e^{3 x})$

Bước 3.3

Nhân $e^{- 3 x}$ với $e^{3 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển $e^{3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x} e^{- 3 x} (1 x^{2})$

Bước 3.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{3 x - 3 x} (1 x^{2})$

Bước 3.3.3

Trừ $3 x$ khỏi $3 x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{0} (1 x^{2})$

Bước 3.4

Rút gọn $e^{0} (1 x^{2})$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = x^{2}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = x^{2}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = x^{2}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int x^{2} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- 3 x} y = \int x^{2} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ cho $e^{- 3 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- 3 x} y = \frac{1}{3} x^{3} + C$ cho $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- 3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 8.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 8.3.1.3

Kết hợp.

$y = \frac{x^{3} \cdot 1}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Bước 8.3.1.4

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$