Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10}$

Bước 1

Lấy tích phân cả hai vế đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm bậc nhất bằng tích phân của đạo hàm bậc hai đối với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10} d x$

Bước 1.2

Vì $\frac{21}{10}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{21}{10}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Bước 1.3

Giả sử $u = \sec (x)$ . Sau đó $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Hãy đặt $u = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 1.3.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 1.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int u d u$

Bước 1.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết lại $\frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ ở dạng $\frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$

Bước 1.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Nhân $\frac{21}{10}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10 \cdot 2} u^{2} + C_{1}$

Bước 1.5.2.2

Nhân $10$ với $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} u^{2} + C_{1}$

Bước 1.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}$

Bước 2

Viết lại phương trình.

$d y = (\frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.2

Vì $\frac{21}{20}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{21}{20}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.3

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Bước 3.3.5

Rút gọn.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = \frac{21}{20} \tan (x) + C x + D$