Giải tích Ví dụ

$y e^{2 x} d x = (4 + e^{2 x}) d y$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$(4 + e^{2 x}) d y = y e^{2 x} d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y}$ .

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $4 + e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $4 + e^{2 x}$ ra ngoài $(4 + e^{2 x}) y$ .

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) (y)} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (4 + e^{2 x}) d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 x}) y} (y e^{2 x}) d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $(4 + e^{2 x}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

Bước 3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y (e^{2 x})) d x$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (4 + e^{2 x})} (y e^{2 x}) d x$

Bước 3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{4 + e^{2 x}} e^{2 x} d x$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{4 + e^{2 x}}$ và $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{2 x}}{4 + e^{2 x}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Giả sử $u_{2} = 4 + e^{2 x}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Hãy đặt $u_{2} = 4 + e^{2 x}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Tính đạo hàm $4 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{2 x}]$

Bước 4.3.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4.3.1.1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 4.3.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.3.1.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.3.1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 4.3.1.1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Bước 4.3.1.1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Bước 4.3.1.1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Bước 4.3.1.1.4

Cộng $0$ và $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Bước 4.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 4.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 4.3.4

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Bước 4.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 + e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 x} |) + C$