Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn $y (e^{x} + 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Viết lại.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 0 + 0 + y (e^{x} + 4)$

Bước 1.1.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

Bước 1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + y \cdot 4$

Bước 1.1.1.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + 4 y$

Bước 1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Trừ $4 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 4 y - 4 y$

Bước 1.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y e^{x} + 4 y - 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Trừ $4 y$ khỏi $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 0$

Bước 1.1.2.2.2

Cộng $y e^{x}$ và $0$ .

$\frac{d y}{d x} = y e^{x}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y e^{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{x}))$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

Bước 1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = e^{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{x} d x$

Bước 2.3

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = e^{x} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{e^{x} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{e^{x} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{e^{x} + C}$ ở dạng $e^{e^{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{e^{x}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{e^{x}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{e^{x}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{e^{x}}$