Giải tích Ví dụ

$e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ cho $e^{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ cho $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Bước 2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Làm âm số mũ của $e^{x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$y + C_{1} = 2 \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Bước 2.3.2.2.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- x} d x$

Bước 2.3.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Bước 2.3.5.2

Nhân $\int e^{- x} d x$ với $1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Bước 2.3.6

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3.6.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.3.6.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.3.6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Bước 2.3.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Bước 2.3.8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Bước 2.3.9

Viết lại $2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ ở dạng $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$