Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1

Lấy tích phân cả hai vế đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm bậc nhất bằng tích phân của đạo hàm bậc hai đối với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 1.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 1.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{- 2} d x$

Bước 1.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{- 1} + C_{1}$

Bước 1.4

Viết lại $- x^{- 1} + C_{1}$ ở dạng $- \frac{1}{x} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x} + C_{1}$

Bước 2

Viết lại phương trình.

$d y = (- \frac{1}{x} + C_{1}) d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{2} = - \int \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Bước 3.3.5

Rút gọn.

$y + C_{2} = - \ln (| x |) + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{2} = C_{1} x - \ln (| x |) + C_{5}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = C x - \ln (| x |) + D$