Giải tích Ví dụ

solve the differential equation of $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Bước 2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $4$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Bước 2.3.3

Tích phân của $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Bước 2.3.4.2

Viết lại $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 2.3.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 2.3.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 2.3.4.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 2.3.4.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.4.3.4

Nhân $\arctan (\frac{x}{2})$ với $1$ .

$y + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \arctan (\frac{1}{2} x) + K$