Giải tích Ví dụ

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 2.3.2.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 \int u d u$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{y} + C_{1} = 1 u^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.3

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$e^{y} + C_{1} = u^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$e^{y} = \ln^{2} (x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Bước 3.2

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Khai triển $\ln (e^{y})$ bằng cách di chuyển $y$ ra bên ngoài lôgarit.

$y \ln (e) = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Bước 3.2.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Bước 3.2.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y = \ln (\ln^{2} (x) + K)$