Giải tích Ví dụ

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$2 y d y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 2 y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Bước 2.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Bước 2.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Bước 2.2.3.2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 1 + \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 1 + \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Bước 2.3.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3.1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3.1.1.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Bước 2.3.1.1.4

Cộng $0$ và $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \sin (x)$ .

$y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y^{2} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Bước 3.2

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Bước 3.2.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Bước 3.2.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$