Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ , $y (0) = 1$ , $t = 0.5$ , $h = 0.05$

Bước 1

Xác định $f (t, y)$ sao cho $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = \sin (t)$

Bước 2

Tìm $f (0, 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thế $0$ vào $t$ và $1$ vào $y$ .

$f (0, 1) = \sin (0)$

Bước 2.2

Tính $\sin (0)$ .

$f (0, 1) = 0$

Bước 3

Sử dụng công thức đệ quy $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ để tìm $y_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế.

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân $0.05$ với $0$ .

$y_{1} = 1 + 0$

Bước 3.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$y_{1} = 1$

Bước 4

Sử dụng công thức đệ quy $t_{1} = t_{0} + h$ để tìm $t_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế.

$t_{1} = 0 + 0.05$

Bước 4.2

Cộng $0$ và $0.05$ .

$t_{1} = 0.05$

Bước 5

Tìm $f (0.05, 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thế $0.05$ vào $t$ và $1$ vào $y$ .

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

Bước 5.2

Tính $\sin (0.05)$ .

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

Bước 6

Sử dụng công thức đệ quy $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ để tìm $y_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thế.

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $0.05$ với $0.04997916$ .

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

Bước 6.2.2

Cộng $1$ và $0.00249895$ .

$y_{2} = 1.00249895$

Bước 7

Sử dụng công thức đệ quy $t_{2} = t_{1} + h$ để tìm $t_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thế.

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

Bước 7.2

Cộng $0.05$ và $0.05$ .

$t_{2} = 0.1$

Bước 8

Tiếp tục áp dụng cách này cho đến khi tính được xấp xỉ giá trị mong muốn.

Bước 9

Liệt kê các giá trị xấp xỉ trong một bảng.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$