Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{y}{\sqrt{x y}}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giả sử $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2}}}{\sqrt{x y}}$

Bước 1.2

Kết hợp $\sqrt{y^{2}}$ và $\sqrt{x y}$ vào một căn thức đơn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x y}}$

Bước 1.3

Rút gọn biểu thức $\frac{y^{2}}{x y}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{x y}}$

Bước 1.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y \cdot y}{y x}}$

Bước 1.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y}{x}}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{V}$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V}$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{V} - V$

Bước 6.1.1.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V + \sqrt{V} - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{V}$

Bước 6.1.1.1.2.2

Cộng $0$ và $\sqrt{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$

Bước 6.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{V}$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Bước 6.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{V}}{x}$

Bước 6.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sqrt{V}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Bước 6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{V}} \cdot \frac{\sqrt{V}}{x}$

Bước 6.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sqrt{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\sqrt{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\sqrt{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{V}$ ở dạng $V^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{V^{\frac{1}{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2

Di chuyển $V^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(V^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int V^{\frac{- 1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int V^{- \frac{1}{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $V^{- \frac{1}{2}}$ đối với $V$ là $2 V^{\frac{1}{2}}$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 V^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ cho $2$ .

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Bước 6.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 V^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Bước 6.3.1.2.2

Chia $V^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Bước 6.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.3.1.1

Viết lại $\frac{\ln (| x |)}{2}$ ở dạng $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$V^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Bước 6.3.1.3.1.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$V^{\frac{1}{2}} = \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2}$

Bước 6.3.2

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(V^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Rút gọn ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1.1

Nhân các số mũ trong ${(V^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Bước 6.3.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$V^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Bước 6.3.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$V^{1} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Bước 6.3.3.1.2

Rút gọn.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Bước 6.4

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong ${(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} x$ .

$y = x {(\ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2}$