Giải tích Ví dụ

$\arctan (- \frac{x}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(- \frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(- (\frac{x}{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Bước 2.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Bước 2.2.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{1 + 1 {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Bước 2.2.3

Nhân ${(\frac{x}{2})}^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Bước 2.3

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{x}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Bước 2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Bước 3.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Bước 3.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{2}}{4}$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Bước 3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Bước 3.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Bước 3.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Bước 3.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Bước 3.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Bước 3.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

Bước 3.4.4

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{2}}$

Bước 3.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$- (1 \frac{2}{4 + x^{2}})$

Bước 3.6

Nhân $\frac{2}{4 + x^{2}}$ với $1$ .

$- \frac{2}{4 + x^{2}}$