Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 1

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 3.7

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Cộng $1$ và $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Bước 5.1.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{1}{1})$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$3 \cdot 1$

Bước 5.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3$