Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$ ở dạng ${(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + \tan^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.6.2.2

Di chuyển ${(1 + \tan^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan^{2} (x)]$

Bước 4.6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \tan^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

Bước 4.6.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)])$

Bước 4.6.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 4.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 4.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 4.8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Bước 4.8.2

Kết hợp $\tan (x)$ và $\frac{2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (x) \cdot 2}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 4.8.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\tan (x)$ .

$\frac{2 \cdot \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 4.8.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \tan (x)}{2 {(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 4.8.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Bước 4.9

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (x)$

Bước 4.10

Kết hợp $\frac{\tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ và $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\tan (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \tan^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.11.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\tan^{2} (x) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.11.3

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.11.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.4.1

Nhân các số mũ trong ${(\sec^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.4.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 4.11.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{{\sec (x)}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 4.11.4.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{1} (x)}$

Bước 4.11.4.2

Rút gọn.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec (x)}$

Bước 4.11.5

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec^{2} (x)$ và $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.5.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x)}$

Bước 4.11.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.5.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

Bước 4.11.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{\sec (x) \cdot 1}$

Bước 4.11.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{1}$

Bước 4.11.5.2.4

Chia $\sec (x) \tan (x)$ cho $1$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \sec (x) \tan (x)$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$