Giải tích Ví dụ

$7 \ln (x^{2} y^{2}) = 6$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (7 \ln (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (6)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 \ln (x^{2} y^{2})$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y^{2})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$7 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}])$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ và $7$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.7

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Bước 2.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Bước 2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.2

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{14}{x^{2} y^{2}} (x^{2} y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.3

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} (y y') + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.4

Kết hợp $y$ và $\frac{x^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}} y' + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.5

Kết hợp $\frac{y (x^{2} \cdot 14)}{x^{2} y^{2}}$ và $y'$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 14) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.6

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{y (14 \cdot x^{2}) y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.7

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{14 \cdot y x^{2} y'}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.8

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.8.1

Đưa $y$ ra ngoài $14 y x^{2} y'$ .

$\frac{y (14 x^{2} y')}{x^{2} y^{2}} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.8.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (14 x^{2} y')}{y (x^{2} y)} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14 x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{7}{x^{2} y^{2}} (2 y^{2} x)$

Bước 2.10.2.10

Kết hợp $2$ và $\frac{7}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{2 \cdot 7}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Bước 2.10.2.11

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x^{2} y^{2}} (y^{2} x)$

Bước 2.10.2.12

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{14}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}} x$

Bước 2.10.2.13

Kết hợp $\frac{y^{2} \cdot 14}{x^{2} y^{2}}$ và $x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{y^{2} \cdot 14 x}{x^{2} y^{2}}$

Bước 2.10.2.14

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 \cdot y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Bước 2.10.2.15

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 y^{2} x}{x^{2} y^{2}}$

Bước 2.10.2.15.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14 x}{x^{2}}$

Bước 2.10.2.16

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.16.1

Đưa $x$ ra ngoài $14 x$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x^{2}}$

Bước 2.10.2.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.16.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Bước 2.10.2.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x}$

Bước 2.10.2.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x}$

Bước 3

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{14 y'}{y} + \frac{14}{x} = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $\frac{14}{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{14 y'}{y} = - \frac{14}{x}$

Bước 5.2

Nhân cả hai vế với $y$ .

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14 y'}{y} y = - \frac{14}{x} y$

Bước 5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$14 y' = - \frac{14}{x} y$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Rút gọn $- \frac{14}{x} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Kết hợp $y$ và $\frac{14}{x}$ .

$14 y' = - \frac{y \cdot 14}{x}$

Bước 5.3.2.1.2

Di chuyển $14$ sang phía bên trái của $y$ .

$14 y' = - \frac{14 y}{x}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ cho $14$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $14 y' = - \frac{14 y}{x}$ cho $14$ .

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{14 y'}{14} = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- \frac{14 y}{x}}{14}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = - \frac{14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Bước 5.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{14 y}{x}$ vào tử số.

$y' = \frac{- 14 y}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Bước 5.4.3.2.2

Đưa $14$ ra ngoài $- 14 y$ .

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Bước 5.4.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{14 (- y)}{x} \cdot \frac{1}{14}$

Bước 5.4.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{- y}{x}$

Bước 5.4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y}{x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$