Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{2}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 3 x^{2} d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 \int x^{2} d x}$

Bước 1.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)}$

Bước 1.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Viết lại $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ ở dạng $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C}$

Bước 1.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Bước 1.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{3}{3} x^{3} + C}$

Bước 1.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{1 x^{3} + C}$

Bước 1.2.3.2.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$e^{x^{3} + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{x^{3}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{3}} (3 x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$

Bước 2.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 e^{x^{3}} (x^{2} y) = e^{x^{3}} x^{2}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y e^{x^{3}} = x^{2} e^{x^{3}}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] = x^{2} e^{x^{3}}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{3}} y] d x = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{x^{3}} y = \int x^{2} e^{x^{3}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giả sử $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Sau đó $d u_{2} = 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{x^{3}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Hãy đặt $u_{2} = e^{x^{3}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Tính đạo hàm $e^{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{3}}]$

Bước 6.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 6.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 6.1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 6.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$e^{x^{3}} (3 x^{2})$

Bước 6.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số của $e^{x^{3}} (3 x^{2})$ .

$3 e^{x^{3}} x^{2}$

Bước 6.1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $3 e^{x^{3}} x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{x^{3}}$

Bước 6.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{x^{3}} y = \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 6.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} u_{2} + C$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $e^{x^{3}}$ .

$e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ cho $e^{x^{3}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{x^{3}} y = \frac{1}{3} e^{x^{3}} + C$ cho $e^{x^{3}}$ .

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x^{3}} y}{e^{x^{3}}} = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{x^{3}}}{e^{x^{3}}} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $\frac{1}{3}$ cho $1$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{C}{e^{x^{3}}}$