Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x}{e^{x}})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ là $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ trong đó $f (y) = x$ và $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Bước 3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [x] - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{u} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Bước 3.5

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$\frac{e^{x} x' - x (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{x} x' - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Đưa $x'$ ra ngoài $e^{x} x' - e^{x} x x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1.1

Đưa $x'$ ra ngoài $e^{x} x'$ .

$\frac{x' e^{x} - e^{x} x x'}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.2.1.2

Đưa $x'$ ra ngoài $- e^{x} x x'$ .

$\frac{x' e^{x} + x' (- e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.2.1.3

Đưa $x'$ ra ngoài $x' e^{x} + x' (- e^{x} x)$ .

$\frac{x' (e^{x} - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.2.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} - e^{x} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 - e^{x} x)}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.2.2.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} x$ .

$\frac{x' (e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x))}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.2.2.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- x)$ .

$\frac{x' (e^{x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

$\frac{x' e^{x} (1 - x)}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x}$ và $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $x' e^{x} (1 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x}}$

Bước 3.6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 3.6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} (x' e^{- x} (1 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 3.6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{1}$

Bước 3.6.3.2.4

Chia $x' e^{- x} (1 - x)$ cho $1$ .

$x' e^{- x} (1 - x)$

Bước 3.6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$

Bước 3.6.5

Nhân $x'$ với $1$ .

$x' e^{- x} + x' e^{- x} (- x)$

Bước 3.6.6

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$x' e^{- x} - x' e^{- x} x$

Bước 3.6.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $x' e^{- x} - x' e^{- x} x$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = e^{- x} x' - x e^{- x} x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$ .

$e^{- x} x' - x e^{- x} x' = 1$

Bước 5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x} x' - x e^{- x} x'$ .

$x' e^{- x} - x x' e^{- x} = 1$

Bước 5.3

Đưa $x' e^{- x}$ ra ngoài $x' e^{- x} - x x' e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $x' e^{- x}$ ra ngoài $x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 - x x' e^{- x} = 1$

Bước 5.3.2

Đưa $x' e^{- x}$ ra ngoài $- x x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x) = 1$

Bước 5.3.3

Đưa $x' e^{- x}$ ra ngoài $x' e^{- x} \cdot 1 + x' e^{- x} (- x)$ .

$x' e^{- x} (1 - x) = 1$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ cho $e^{- x} (1 - x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $x' e^{- x} (1 - x) = 1$ cho $e^{- x} (1 - x)$ .

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' e^{- x} (1 - x)}{e^{- x} (1 - x)} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{e^{- x} (1 - x)}$