Giải tích Ví dụ

$P (x) = - x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ , $x \geq 5$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Vì $\frac{27}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{27}{2} x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{27}{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.3.4

Nhân $2$ với $27$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.3.5

Kết hợp $\frac{54}{2}$ và $x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $54$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $54 x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27 x}{1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.3.6.2.4

Chia $27 x$ cho $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Vì $- 60$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 60 x$ đối với $x$ là $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.4.3

Nhân $- 60$ với $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + \frac{d}{d x} (100)$

Bước 1.1.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.1

Vì $100$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $100$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + 0$

Bước 1.1.1.5.2

Cộng $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ và $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $P (x)$ đối với $x$ là $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Bước 1.2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Bước 1.2.2.1.2

Đưa $- 3$ ra ngoài $27 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 60 = 0$

Bước 1.2.2.1.3

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 60$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Bước 1.2.2.1.4

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 (x^{2}) - 3 (- 9 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Bước 1.2.2.1.5

Đưa $- 3$ ra ngoài $- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 (20)$ .

$- 3 (x^{2} - 9 x + 20) = 0$

Bước 1.2.2.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1

Phân tích $x^{2} - 9 x + 20$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.2.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $20$ và tổng của chúng là $- 9$ .

$- 5, - 4$

Bước 1.2.2.2.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$- 3 ((x - 5) (x - 4)) = 0$

Bước 1.2.2.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $x - 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $x - 5$ bằng với $0$ .

$x - 5 = 0$

Bước 1.2.4.2

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 5$

Bước 1.2.5

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 1.2.5.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 1.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$ đúng.

$x = 5, 4$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Bước 1.4

Tính $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $5$ bằng $x$ .

$- {(5)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$- 1 \cdot 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Bước 1.4.1.2.1.2

Nhân $- 1$ với $125$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Bước 1.4.1.2.1.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot 25 - 60 \cdot 5 + 100$

Bước 1.4.1.2.1.4

Nhân $\frac{27}{2} \cdot 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.4.1

Kết hợp $\frac{27}{2}$ và $25$ .

$- 125 + \frac{27 \cdot 25}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Bước 1.4.1.2.1.4.2

Nhân $27$ với $25$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Bước 1.4.1.2.1.5

Nhân $- 60$ với $5$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Bước 1.4.1.2.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Viết $- 125$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{- 125}{1} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Bước 1.4.1.2.2.2

Nhân $\frac{- 125}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Bước 1.4.1.2.2.3

Nhân $\frac{- 125}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Bước 1.4.1.2.2.4

Viết $- 300$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} + 100$

Bước 1.4.1.2.2.5

Nhân $\frac{- 300}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{2}{2} + 100$

Bước 1.4.1.2.2.6

Nhân $\frac{- 300}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + 100$

Bước 1.4.1.2.2.7

Viết $100$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1}$

Bước 1.4.1.2.2.8

Nhân $\frac{100}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 1.4.1.2.2.9

Nhân $\frac{100}{1}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100 \cdot 2}{2}$

Bước 1.4.1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 125 \cdot 2 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Bước 1.4.1.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.4.1

Nhân $- 125$ với $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Bước 1.4.1.2.4.2

Nhân $- 300$ với $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 100 \cdot 2}{2}$

Bước 1.4.1.2.4.3

Nhân $100$ với $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 200}{2}$

Bước 1.4.1.2.5

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.5.1

Cộng $- 250$ và $675$ .

$\frac{425 - 600 + 200}{2}$

Bước 1.4.1.2.5.2

Trừ $600$ khỏi $425$ .

$\frac{- 175 + 200}{2}$

Bước 1.4.1.2.5.3

Cộng $- 175$ và $200$ .

$\frac{25}{2}$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $4$ bằng $x$ .

$- {(4)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$- 1 \cdot 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Bước 1.4.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $64$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Bước 1.4.2.2.1.3

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot 16 - 60 \cdot 4 + 100$

Bước 1.4.2.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 (8)) - 60 \cdot 4 + 100$

Bước 1.4.2.2.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 60 \cdot 4 + 100$

Bước 1.4.2.2.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$- 64 + 27 \cdot 8 - 60 \cdot 4 + 100$

Bước 1.4.2.2.1.5

Nhân $27$ với $8$ .

$- 64 + 216 - 60 \cdot 4 + 100$

Bước 1.4.2.2.1.6

Nhân $- 60$ với $4$ .

$- 64 + 216 - 240 + 100$

Bước 1.4.2.2.2

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.2.1

Cộng $- 64$ và $216$ .

$152 - 240 + 100$

Bước 1.4.2.2.2.2

Trừ $240$ khỏi $152$ .

$- 88 + 100$

Bước 1.4.2.2.2.3

Cộng $- 88$ và $100$ .

$12$

Bước 1.4.3

Liệt kê tất cả các điểm.

$(5, \frac{25}{2}), (4, 12)$

Bước 2

Bỏ các điểm không nằm trong khoảng đang xét ra.

$(5, \frac{25}{2})$

Bước 3

Vì không có giá trị nào của $x$ làm cho đạo hàm bậc nhất bằng $0$ , nên không có cực trị địa phương.

Không có cực trị địa phương

Bước 4

So sánh các giá trị $P (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $P (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $P (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(5, \frac{25}{2})$

Không có cực tiểu tuyệt đối

Bước 5