Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Bước 1

Tìm giá trị $y$ tương ứng để $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay $4$ vào cho $x$ .

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

Bước 1.2

Rút gọn $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

Bước 1.2.2

Cộng $16$ và $9$ .

$y = \sqrt{25}$

Bước 1.2.3

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2}}$

Bước 1.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$y = 5$

Bước 2

Tìm đạo hàm và tính giá trị tại $x = 4$ và $y = 5$ để tìm hệ số góc của đường tiếp tuyến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 9}$ ở dạng ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{2} + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.7.3

Di chuyển ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Bước 2.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Bước 2.10

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Bước 2.11

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Bước 2.11.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 2.11.3

Kết hợp $\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.11.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.11.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.12

Tính đạo hàm tại $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13.2

Cộng $16$ và $9$ .

$\frac{4}{25^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13.3

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\frac{4}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.13.4

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 2.13.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 2.13.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{5^{1}}$

Bước 2.13.6

Tính số mũ.

$\frac{4}{5}$

Bước 3

Thế hệ số góc và tọa độ điểm vào công thức phương trình đường thẳng dạng hệ số góc và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng hệ số góc $\frac{4}{5}$ và một điểm đã cho $(4, 5)$ để thay $x_{1}$ và $y_{1}$ ở dạng biết một điểm và hệ số góc $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , được tìm từ phương trình hệ số góc $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{4}{5} \cdot (x - (4))$

Bước 3.2

Rút gọn phương trình và giữ nó ở dạng biết một điểm và hệ số góc.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn $\frac{4}{5} \cdot (x - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y - 5 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.4

Kết hợp $\frac{4}{5}$ và $x$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Bước 3.3.1.5

Nhân $\frac{4}{5} \cdot - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.5.1

Kết hợp $\frac{4}{5}$ và $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 4}{5}$

Bước 3.3.1.5.2

Nhân $4$ với $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

Bước 3.3.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y - 5 = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5}$

Bước 3.3.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5$

Bước 3.3.2.2

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

Bước 3.3.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

Bước 3.3.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 5 \cdot 5}{5}$

Bước 3.3.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.5.1

Nhân $5$ với $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 25}{5}$

Bước 3.3.2.5.2

Cộng $- 16$ và $25$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{9}{5}$

Bước 3.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{9}{5}$

Bước 4