Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x (x^{2} + 1)}$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 1.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{1} x^{2} + x \cdot 1}$

Bước 1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{1 + 2} + x \cdot 1}$

Bước 1.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{3} + x \cdot 1}$

Bước 1.3

Nhân $x$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - 9}{x^{3} + x}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Bước 3

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Nhân với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Bước 3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Bước 3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Bước 3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- 9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Bước 3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}}}$

Bước 3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x}{x^{3}}}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{1}}{x^{3}}}$

Bước 3.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{3}}}$

Bước 3.2.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}$

Bước 3.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}}}$

Bước 3.2.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 3.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 3.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 5

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{0 - 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{0 - 9 \cdot 0}{1 + 0}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $- 9$ với $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0}$

Bước 9.1.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Bước 9.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 9.3

Chia $0$ cho $1$ .

$0$