Giải tích Ví dụ

$y = \frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.4.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.5

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.7

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.9

Cộng $1$ và $1$ .

$5 \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.10

Kết hợp $5$ và $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ .

$\frac{5 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{5 (1 (- \sin (x))) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1.1

Nhân $- \sin (x)$ với $1$ .

$\frac{5 (- \sin (x)) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.1.2

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (\sin (x) (- \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin (x) \sin (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.1.4

Nhân $- \sin (x) \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1.4.1

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.1.4.2

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) + 5 (- \sin^{2} (x)) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.1.5

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) + 5 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.1.6

Nhân $- 1$ với $5$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \sin^{2} (x) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.2

Đưa $- 5$ ra ngoài $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.3

Đưa $- 5$ ra ngoài $- 5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.4

Đưa $- 5$ ra ngoài $- 5 (\sin^{2} (x)) - 5 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{- 5 \sin (x) - 5 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.3.6

Nhân $- 5$ với $1$ .

$\frac{- 5 \sin (x) - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 5 - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.5

Đưa $- 5$ ra ngoài $- 5 - 5 \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.5.1

Đưa $- 5$ ra ngoài $- 5$ .

$\frac{- 5 (1) - 5 \sin (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.5.2

Đưa $- 5$ ra ngoài $- 5 \sin (x)$ .

$\frac{- 5 (1) - 5 (\sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.5.3

Đưa $- 5$ ra ngoài $- 5 (1) - 5 (\sin (x))$ .

$\frac{- 5 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.6

Triệt tiêu thừa số chung của $1 + \sin (x)$ và ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.6.1

Đưa $1 + \sin (x)$ ra ngoài $- 5 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Bước 3.11.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.6.2.1

Đưa $1 + \sin (x)$ ra ngoài ${(1 + \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Bước 3.11.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 5}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

Bước 3.11.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 5}{1 + \sin (x)}$

Bước 3.11.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{1 + \sin (x)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{1 + \sin (x)}$